Rui de Jesus

Crescimento Factorial

21 de Junho de 2022


Crescimento Factorial
Crescimento Exponencial
Problema mal colocado

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Já falei num artigo anterior no crescimento exponencial. Relembremos este conceito. Suponhamos que um trabalhador faz um contrato por dois anos, com uma certa empresa em que o trabalhador pede um euro de salário, no primeiro mês de trabalho, dois euros no segundo mês, quatro euros no terceiro mês, oito euros no quarto... e assim por diante. Sempre o dobro do mês anterior. Pode parecer insignificante, mas a verdade é que no último mês dos dois anos de contrato, o patrão vai ter de lhe pagar mais de oito milhões de euros, é só fazer as contas (certamente que o patrão não as fez). Isto é crescimento exponencial. Mas, será que existe algo que cresça ainda mais rápido que o crescimento exponencial? Sim, há – O Crescimento Factorial. Mas o que é o Crescimento Factorial? Vejamos um exemplo prático. Suponhamos que três amigos vão comer a um restaurante. Coloca-se agora a questão, de quantas maneiras (diferentes) se podem (sentar) dispôr numa mesa de três lugares. Supondo que as pessoas são A, B e C, há 6 maneiras diferentes de sentar as três pessoas ou seja ABC, ACB, BAC, CAB, BCA e CBA. Portanto há 6 maneiras diferentes de sentar as três pessoas, ou seja 3 X 2 X 1 = 6. Se forem 4 pessoas (para 4 lugares), há 4 X 3 X 2 X 1 = 24 maneiras diferentes de sentar as 4 pessoas. Se vierem 5 pessoas num carro (todas com carta), de quantas maneiras diferentes é possível sentar as cinco pessoas no carro? Há 120 maneiras diferentes de arrumar as pessoas, isto é 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Se 27 pessoas forem almoçar (ou jantar) a um restaurante com cadeiras individuais, quantas serão as maneiras totalmente diferentes de sentar as pessoas. Pela mesma lógica haverá 27 X 26 X 25 X 24...............X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 10888869450918352160768000000 formas de sentar aquele grupo de pessoas. Não é fácil de ler este número. São mais de mil quatriliões e isto só com 27 pessoas. Mas tem uma forma (simples) abreviada para escrever isto, que é 27!, a que chamaremos 27 factorial, isto é de 27 seguido de um ponto de exclamação. Seja agora um baralho de cartas completo (52 cartas), quantas formas diferentes temos de arrumar estas cartas. A 1ª carta pode ser qualquer uma das 52 cartas. E para cada escolha dessa carta, pode estar qualquer uma da 51 cartas na segunda posição.............. e assim sucessivamente por diante. Melhor dizendo as cartas podem estar ordenadas neste baralho de 52 factorial formas diferentes, ou seja 52! O que dá um total de 52! = 52 X 51 X 50 X 49 X.............X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 80658175170993878571660636856403766975289505446883277824000000000000. Será que consegue ler este número (claro que não). Para vermos quanto grande é este número. Imaginemos que numa tentativa de criar todas as formas de ordenar um baralho (52 cartas) e criava uma forma diferente por segundo. Se tivesse começado no início do Universo (quando se deu o Big Bang, há cerca de 14 mil milhões de anos – hoje ainda estaria nos biliões de anos, de atingir o objectivo). Neste momento, teríamos apenas criado 435 mil biliões, formas diferentes de ordenar as cartas no baralho. 

Uma coisa é certa, o número de formas de ordenar as cartas de um baralho é tão grande.... tão grande..... que com certeza, ao longo de toda a História só foi produzida uma ínfima parte dessas formas.

Curiosidade: Se baralhar um baralho, é muito provável, que nunca antes, que alguém tenha obtido a mesma ordem.

Isto é Matemática

 

2

Vejamos um caso, em que um turista, que andava no mato e encontrou dois pastores (que designaremos por P e p), que convidaram o turista a petiscar com eles. O P grande tinha 4 queijos e o p pequeno tinha 3 queijos. Juntaram-nos todos e dividiram igualmente pelos três. Assim 4 + 3 = 7 queijos que é a mesma quantidade que 21/3 (para facilitar as contas). Deste modo coube a cada um 7/3. No fim o turista agradeceu muito e deixou uma pequena gorgeta de 7 euros para os dois pastores. Qual será a maneira mais justa de distribuir a verba oferecida pelo turista. Assim o P grande cedeu os 4 queijos, isto é 12/3 e o p pequeno cedeu 3 queijos ou seja 9/3. O P grande cedeu 12/3 e comeu 7/3, cedendo assim 12/3 – 7/3, deste modo cedeu 5/3 ao turista. O p pequeno cedeu 9/3 e comeu 7/3, cedendo assim 9/3 – 7/3. Dado que o turista cedeu uma gorjeta de 7 euros, o modo mais justo de distribuir esta quantia pelos dois pastores, seria 5 euros para o P grande e 2 euros para o p pequeno.

Por vezes as aparências iludem.

Crescimento Factorial
Crescimento Exponencial
Problema mal colocado

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Já falei num artigo anterior no crescimento exponencial. Relembremos este conceito. Suponhamos que um trabalhador faz um contrato por dois anos, com uma certa empresa em que o trabalhador pede um euro de salário, no primeiro mês de trabalho, dois euros no segundo mês, quat…





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