Crescimento Factorial
Crescimento Exponencial
Problema mal colocado
Já falei num artigo anterior no crescimento exponencial. Relembremos este conceito. Suponhamos que um trabalhador faz um contrato por dois anos, com uma certa empresa em que o trabalhador pede um euro de salário, no primeiro mês de trabalho, dois euros no segundo mês, quatro euros no terceiro mês, oito euros no quarto... e assim por diante. Sempre o dobro do mês anterior. Pode parecer insignificante, mas a verdade é que no último mês dos dois anos de contrato, o patrão vai ter de lhe pagar mais de oito milhões de euros, é só fazer as contas (certamente que o patrão não as fez). Isto é crescimento exponencial. Mas, será que existe algo que cresça ainda mais rápido que o crescimento exponencial? Sim, há – O Crescimento Factorial. Mas o que é o Crescimento Factorial? Vejamos um exemplo prático. Suponhamos que três amigos vão comer a um restaurante. Coloca-se agora a questão, de quantas maneiras (diferentes) se podem (sentar) dispôr numa mesa de três lugares. Supondo que as pessoas são A, B e C, há 6 maneiras diferentes de sentar as três pessoas ou seja ABC, ACB, BAC, CAB, BCA e CBA. Portanto há 6 maneiras diferentes de sentar as três pessoas, ou seja 3 X 2 X 1 = 6. Se forem 4 pessoas (para 4 lugares), há 4 X 3 X 2 X 1 = 24 maneiras diferentes de sentar as 4 pessoas. Se vierem 5 pessoas num carro (todas com carta), de quantas maneiras diferentes é possível sentar as cinco pessoas no carro? Há 120 maneiras diferentes de arrumar as pessoas, isto é 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Se 27 pessoas forem almoçar (ou jantar) a um restaurante com cadeiras individuais, quantas serão as maneiras totalmente diferentes de sentar as pessoas. Pela mesma lógica haverá 27 X 26 X 25 X 24...............X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 10888869450918352160768000000 formas de sentar aquele grupo de pessoas. Não é fácil de ler este número. São mais de mil quatriliões e isto só com 27 pessoas. Mas tem uma forma (simples) abreviada para escrever isto, que é 27!, a que chamaremos 27 factorial, isto é de 27 seguido de um ponto de exclamação. Seja agora um baralho de cartas completo (52 cartas), quantas formas diferentes temos de arrumar estas cartas. A 1ª carta pode ser qualquer uma das 52 cartas. E para cada escolha dessa carta, pode estar qualquer uma da 51 cartas na segunda posição.............. e assim sucessivamente por diante. Melhor dizendo as cartas podem estar ordenadas neste baralho de 52 factorial formas diferentes, ou seja 52! O que dá um total de 52! = 52 X 51 X 50 X 49 X.............X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 80658175170993878571660636856403766975289505446883277824000000000000. Será que consegue ler este número (claro que não). Para vermos quanto grande é este número. Imaginemos que numa tentativa de criar todas as formas de ordenar um baralho (52 cartas) e criava uma forma diferente por segundo. Se tivesse começado no início do Universo (quando se deu o Big Bang, há cerca de 14 mil milhões de anos – hoje ainda estaria nos biliões de anos, de atingir o objectivo). Neste momento, teríamos apenas criado 435 mil biliões, formas diferentes de ordenar as cartas no baralho.
Uma coisa é certa, o número de formas de ordenar as cartas de um baralho é tão grande.... tão grande..... que com certeza, ao longo de toda a História só foi produzida uma ínfima parte dessas formas.
Curiosidade: Se baralhar um baralho, é muito provável, que nunca antes, que alguém tenha obtido a mesma ordem.
Isto é Matemática
Vejamos um caso, em que um turista, que andava no mato e encontrou dois pastores (que designaremos por P e p), que convidaram o turista a petiscar com eles. O P grande tinha 4 queijos e o p pequeno tinha 3 queijos. Juntaram-nos todos e dividiram igualmente pelos três. Assim 4 + 3 = 7 queijos que é a mesma quantidade que 21/3 (para facilitar as contas). Deste modo coube a cada um 7/3. No fim o turista agradeceu muito e deixou uma pequena gorgeta de 7 euros para os dois pastores. Qual será a maneira mais justa de distribuir a verba oferecida pelo turista. Assim o P grande cedeu os 4 queijos, isto é 12/3 e o p pequeno cedeu 3 queijos ou seja 9/3. O P grande cedeu 12/3 e comeu 7/3, cedendo assim 12/3 – 7/3, deste modo cedeu 5/3 ao turista. O p pequeno cedeu 9/3 e comeu 7/3, cedendo assim 9/3 – 7/3. Dado que o turista cedeu uma gorjeta de 7 euros, o modo mais justo de distribuir esta quantia pelos dois pastores, seria 5 euros para o P grande e 2 euros para o p pequeno.
Por vezes as aparências iludem.